Urodzony 30 lipca (1 sierpnia) 1865 r. w Stoczku Łukowskim na Podlasiu, syn Stanisława - urzędnika gminnego i Marianny z Grigoriewów, utracił matkę, mając zaledwie półtora roku. Jego wychowaniem zajęła się druga żona Eleonora z Dobraczyńskich. Szkołę powszechną ukończył w Żelechowie, gimnazjum w Siedlcach. We wrześniu 1883 r. wstąpił do Seminarium Duchownego w Płocku. 26 maja 1888 r. przyjął święcenia kapłańskie w katedrze płockiej.
2 sierpnia 1888 r. otrzymał nominację na wikariat w parafii św. Bartłomieja w Płocku, jedynej wówczas parafii na terenie miasta. Ponieważ w okresie seminaryjnym dał się poznać jako wybitnie zdolny oraz pracowity, we wrześniu 1889 r. został wysłany na studia do Akademii Duchownej w Petersburgu. 6 lipca 1893 uzyskał tytuł magistra świętej teologii. Następnie powrócił do Płocka i piastował ważne funkcje diecezjalne. W kwietniu 1904 r. wyjechał ponownie do Petersburga. Został tam delegowany przez kapitułę katedralną na jednego z czterech asesorów Rzymskokatolickiego Kolegium Duchownego w Petersburgu. Przebywał tam do 8 czerwca 1907 r.
Po powrocie do Płocka zaczął wykładać w seminarium: prawo kanoniczne, filozofię, socjologię, ascetykę i ekonomię polityczną. W latach 1909-1918 pełnił funkcję rektora. W okresie rektorstwa odbył staż w Instytucie Psychologii Eksperymentalnej w Lipsku, poza tym zwiedził różne ośrodki naukowe w Niemczech i we Francji.
Wybuch I wojny światowej zastał go za granicą. Po powrocie do kraju zaangażował się w dzieło reorganizacji Kościoła katolickiego w odradzającym się państwie polskim. Od 1916 r. brał udział w posiedzeniach i pracach Konferencji Episkopatu Prowincji Warszawskiej jako konsultor biskupa płockiego Antoniego Juliana Nowowiejskiego. Od marca 1918 r. pełnił funkcję naczelnika Wydziału Kościoła Katolickiego w Ministerstwie Wyznań Religijnych i Oświecenia Publicznego. W związku z nowymi obowiązkami opuścił Płock i zamieszkał w Warszawie.
29 lipca 1918 r. Benedykt XV mianował ks. Szelążka biskupem tytularnym Barki i sufraganem płockim. Jego konsekracja odbyła się 24 listopada 1918 r. - była to pierwsza konsekracja biskupia w odrodzonej Polsce. Większość czasu spędzał jednak nadal w Warszawie. W rządzie Antoniego Ponikowskiego pełnił kolejno stanowiska: radcy ministerialnego, naczelnika Wydziału Kościoła Katolickiego, a wreszcie dyrektora departamentu. Był członkiem delegacji polskiej w pertraktacjach pokojowych w Rydze. Na początku stycznia 1925 r. rozstał się z pracą w ministerstwie.
Uczestniczył aktywnie w pracach nad konkordatem ze Stolicą Apostolską w latach 1921-1925. Na podstawie zawartego konkordatu Stolica Apostolska dokonała 28 października 1925 r. reorganizacji diecezji Kościoła w Polsce. Jednym z owoców tych decyzji było mianowanie 14 grudnia 1925 r. na ordynariusza diecezji łuckiej dotychczasowego biskupa pomocniczego diecezji płockiej Adolfa P. Szelążka. Jego ingres odbył się 24 lutego 1926 r. Na ogromnym terytorium diecezji (ok. 30 tys. km2) działalność duszpasterską prowadziło tylko 140 kapłanów.
Jako ordynariusz: 1927 - zwołał synod diecezjalny; do 1939 r. utworzył ponad 70 nowych parafii, liczba księży wynosiła 240; zaangażowany w pracę na rzecz rozszerzenia unii Kościołów łacińskiego i wschodniego; w 1932 r. Stolica Apostolska mianowała ordynariusza łuckiego konsultorem Kongregacji ds. Kościoła Wschodniego.
Szczególną cześć posiadał do św. Teresy z Lisieux: uczestniczył w beatyfikacji (w 1923 r.), a następnie w jej kanonizacji (w 1925 r.) w Rzymie; nawiedził jej grób i udzielił tam święceń kapłańskich polskiemu diakonowi z diecezji płockiej; od 1928 r. święta ta była współpatronką diecezji łuckiej (pierwszym patronem był św. Stanisław); opracował projekt kapłańskiego Zgromadzenia Sług św. Teresy od Dzieciątka Jezus; od 1929 r. był członkiem Komitetu Budowy Bazyliki poświęconej św. Teresie od Dzieciątka Jezus w Lisieux; powołał do istnienia kółka św. Teresy - jako propozycję formacyjną dla dzieci; w 1936 r. założył Zgromadzenie Sióstr św. Teresy od Dzieciątka Jezus.
Po wybuchu II wojny światowej Łuck i cała diecezja zostały zajęte przez wojska radzieckie. Nowa władza wyrzuciła biskupa z pałacu, zamknęła Kurię i Seminarium Duchowne. Biskup zamieszkał w gmachu pojezuickim. Łatwiej nie było od czerwca 1941 r., tzn. od momentu zajęcia diecezji przez Niemców.
Ponieważ nie istniał praktycznie żaden kontakt biskupa ze Stolicą Apostolską, czyniono starania o ewentualne w razie potrzeby mianowanie nowego biskupa. Biskup pomocniczy lwowski Eugeniusz Baziak pisał nawet do Stolicy Apostolskiej, że bp Szelążek prawdopodobnie nie żyje.
Latem 1944 r. wojska radzieckie zajęły ponownie Łuck. Organizująca się nowa władza próbowała namówić biskupa do odpowiedniego głosowania za odłączeniem tych terenów od Polski. Ksiądz Biskup, oczywiście, nie głosował, nawet gdy przyjechano do niego z urną. Pod koniec 1944 r. zaczęto wysiedlać Polaków z Ukrainy. Opuszczenie diecezji i wyjazd za Bug nakazano także bp. Szelążkowi. On jednak nie opuścił terenu diecezji, odpowiadając, że tylko papież może go odwołać. W efekcie został aresztowany w nocy z 3 na 4 stycznia 1945 r. Był więziony w Łucku, Kowlu oraz Kijowie. Przypomnijmy, że Ksiądz Biskup był już w tym czasie sędziwego wieku - w więzieniu 30 lipca 1945 r. obchodził 80. urodziny. Wydano na niego wyrok śmierci - podstawą były głównie relacje biskupa o stanie swojej diecezji, a w tym o grabieżach i mordach dokonywanych na ludności jego diecezji.
Podejmowano starania o uwolnienie biskupa; angażowała się Stolica Apostolska, dyplomacja amerykańska i biskupi z Polski. Szczególnie był zaangażowany biskup kielecki Czesław Kaczmarek, który w sprawie bp. Szelążka udawał się do Warszawy do Ministerstwa Spraw Wewnętrznych. Zabiegi dały pozytywny skutek i 14 maja 1946 r. został zwolniony. Musiał jednak opuścić swoją diecezję i udać się do Polski.